Жизнь, интегрируемость и точные решения
Здесь бы мне хотелось рассказать о своей научно-исследовательской работе. Рассказать максимально просто, без страшных формул и мудреных фраз. Мое понимание задач, с которыми приходится иметь дело на УИРе, как оно есть. Полет мысли.
Краткое содержание
- Вместо введения
- Инструмент
- "Кругом одни объекты"
- "Не ругайтесь!"
- Интегрируемость
- Точные решения
- "А зачем всё это?"
- Вместо заключения.
1. Вместо введения
Человечество издавна пыталось постичь и понять природу. Применяло оно для этого различные методы. Все чаще - методы проб и ошибок. Но человек не был бы существом разумным, если бы не пытался предугадать, спрогнозировать поведение окружающей среды, отталкиваясь от своего опыта. Так, постепенно обобщая конкретные жизненные ситуации, переводя их на язык абстрактных терминов, люди создавали теории, которые в дальнейшем, претерпев тысячи изменений и доработок и стали той фундаментальной наукой, которая у нас сейчас есть. Человечество вправе этим гордиться.
2. Инструмент
Итак, природное явление нужно как-то описать. Причем это описание должно быть, с одной стороны максимально обобщенным, а с другой - отражать основные закономерности в природе, известные людям. Уже непростая задача. Более того, язык этого описания, помимо своей доступности людям, должен еще и давать возможность извлечь максимальную информацию об исследуемой системе. То есть дать нам понять, как эта система будет развиваться, что от неё ожидать и т. п.
Это язык очень необычный, непохожий на те, на которых мы общаемся. Приведу простой пример. Что вы можете сказать о человеке, зная лишь его имя? Наверняка немного. А теперь представьте, что по одному имени, но данному очень точно, вы знаете весь жизненный путь человека с мельчайшими подробностями.
Таким языком в настоящее время по праву является математика. Конечно, у многих от этого слова пробегает дрожь по спине и в голове встают картины о скучных школьных уроках и позоре у доски. Другие могут вспомнить толстенные книги, написанные "непонятными буковками", содержаие которых настолько далеко от жизни, что во всем мире найдется лишь десяток специалистов понимающих эти "письмена".
Мы же будем говорить о другой математике - о математике прикладной, которая является реальным инструментом в постижении Мира человечеком, наряду со всеми приборами, ускорителями частиц и космическими ракетами.
3. "Кругом одни объекты"
Что же предлагает математика для описания природных явлений? Она предлагает объекты. Объекты эти, конечно же нематериальные, они существуют только в нашем сознании и смысл имеют только для нас - людей. Вы, конечно, скажете что их можно нарисовать, написать, даже сделать какую-то физическую модель. Но это будут не сами математические объекты. Это будут лишь информационные носители, которые кодируют наши знания об этих объектах, то есть переводят их с языка мыслей на язык символов, образов, в печатные слова и в нашу речь.
Но, попав в наше обозрение, эти символы и должны создать в голове образ абстрактного математического обьекта. Видимо, это очень непросто, иначе люди бы не просиживали свои лучшие годы за студенческой скамьей, чтобы научиться мыслить математическими категориями.
Какие же они, эти математические объекты? У них есть свои сойства, методы. По наличию этих свойств и методов объекты можно объединять в классы. Классы могут наследовать методы и свойства от других классов, или передавать им по наследству. Конечно, одинаковые методы могут иметь разное воплощение для разных классов, сохраняя неизменной лишь какую-то общую идею. Можно сказать и так, мы мыслим себе математические обьекты и состоящие из них классы именно по свойствам и методам, которые у них есть.
Приведем пример. Как мы мыслим себе вещественное число? У числа есть свойства: знак и абсолютное значение, которое математики иногда называют ещё и модулем. У числа есть методы: число можно прибавить к другому числу, умножить на число, извлечь корень и т.д.
"Как-то все это похоже на объектно-ориентированное программирование", - скажите вы. Математики, создававшие концепции ООП положили именно эту модель в его основу. В этом нет ничего удивительного, ибо человек издавна пытался мыслить обьектами.
4. "Не ругайтесь!"
"Все сущее есть число" - говорил Пифагор. Но кроме чисел математика предлагает еще целоее множество других обьектов, среди которых нельзя не отметить функцию - фундаментальное понятие.
Чего же пытались достичь наши предки, предлагая такие заумные словечки? Можно рассуждать так. Придумав число, люди придумали ему и применение. Они начали измерять в числах физические величины - скорость, массу, силу... Это оказалось удобным. А потом светлейшие умы человесчества нашли, что физические величины принимают свои числовые значения не в произвольном порядке, а что есть законы природы, которые связывают значения различных величин. Грубо говоря, если мы измерили значение одной физической величины, то можем вычислить (предсказать!) значение другой величины, зная закон, который их связывает.
Здесь и рождается математическая функция, которую так и определяют - закон, задающий однозначное соответствие (зависимость) между двумя числами: аргументом функции и значением функции (здесь, конечно приведено очень упрощенное определение, но я ведь и обещал - никаких заумных фраз).
Но вот беда! Функции, являющиеся математической записью законов природы, редко лежат на поверхности - подходи да бери. Очень часто, чтобы найти нужную зависимость между величинами (т.е. функцию) нужно бывает разгадать специальный ребус - функциональное уравнение. Подобные ребусы, несущие в себе зашифрованную связь между физическими величинами, также называют законами природы.
Широким подклассом функциональных уравнений являются дифференциальные уравнения. Откуда они берутся? Опыт показывает, что часто первая физическая величина зависит от второй физической величины, которая является скоростью изменения первой, или даже скоростью изменения скорости первой. Подобного рода связь называется дифференциальной, а математические обьекты, шифрующие функцию через её дифференциальные связи - дифференциальными уравнениями.
5. Интегрируемость
Как уже было отмечено, дифференциальное уравнение - это ребус. Его надо разгадать, то есть найти ту функцию, которую он в себе зашифровал. Итак, решением дифференциального уравнения является функция.
Великие умы человечества гадали над этими ребусами! Игра стоила свечь - ведь в их разгадке крылось понимание сущности нашего мира, ибо дифференциальные уравнения появлялись, как уже было отмечено, при попытке открыть законы природы.
И опять - беда! Выяснилось, что далеко не все дифференциальные уравнения можно решить. То есть возможностей нашего математического языка, тех самых обьектов со свойствами и методами, не хватает, чтобы разгадать большую часть таких ребусов.
Математики называют процесс решения дифференциального уравнения интегрированием, а уравнения, решения которых можно описать математическим языком (грубо говоря, решить) - интегрируемыми. В чем же заключается эта интегрируемость? Где отличие интегрируемых уравнений от неинтегрируемых? В чем наша слабость? Почему одни уравнения мы можем решить, а над другими приходится лишь разводить руками? Эти вопросы до сих пор на повестке дня умнейших мира сего.
6. Точные решения
Непосредственно то, чем я занимаюсь на УИРе. Итак, нам попалось неинтегрируемое дифференциальное уравнение. Что делать? Можно, конечно попытаться это уравнение упростить, приблизить и так далее. Сделать его интегрируемым искусственно. Но все эти упрощения отбирают у нас информауию об искомой зависимости, ужесточают ограничения, которые и так приходится накладывать на искомые величины. Конечно, если нам лишняя информация не нужна, то и "черт с ней", но вдруг вместе с ней мы потеряем что-то важное? То, чего, быть может так долго искали...
Романтика, не правда ли. Такова обьективная реальность: перед неинтегрируемостью приходиться поднимать руки. Более того, классификация неинтегрируемых систем - также остаётся нерешенной задачей. Очевидно, причина здесь в том, что мы просто не понимаем до конца, что же это такое, неинтегрируемость.
Но, положим, мы не хотим поднимать руки. Ладно, решить нашу задачу мы не можем, но давайте тогда попробуем решить хоть какую-нибудь задачу, пускай не нашу, пускай очень простую, но описываемую этим страшным неинтегрируемым уравнением. И решим мы её точно. То есть найдем решения, которые будут выражаться через известные человечеству функции. И пусть это решение не нашей задачи, но это будет решение неинтегрируемого уравнения, что уже само по себе - большой прорыв.
Станет ли от этого уравнение интегрируемым? Увы. Дифференциальные уравнения (такова их сущность) имеют бесконечно много решений. Для интегрируемых уравнений мы знаем алгоритм, который позволяет нам формально утверждать, что какая быы допустимая задача для этого уравнения не ставилась, мы всегда её можем решить. Пусть нам не удастся выразить это решение как-то красиво, но мы всегда уверены, что оно существует и обладает всеми нужными свойствами. Для нинтегрируемых уравнений нам этот алгоритм неизвестен. Мы даже не уверены, а можно ли такой алгоритм построить, исходя из наших знаний. Мы знаем всего лишь горстку решений, подчас очень маленькую, некрасивую, и дай Бог, чтобы она отвечала действительно интересной задаче.
7. "А зачем всё это?"
Спрашивается, зачем мучиться над поисом точных решений (а он обычно бывает весьма непростым), если все равно получим решение второстепенной, не всегда интересной сильно упрощенной задачи, да еще и не факт, что найденные решения будут иметь физический смысл. Ответ здесь только один - "это - знание".
Самым, без приувеличения, распространенным методом решения дифференциальных уравнений является численное моделирование. То есть мы пытаемся найти искомую зависимость в виде конкретных чисел - наборов вида (аргумент функции, значение функции). Числа мы получаем здесь с определенной погрешностью, и наборов всегда можно найти лишь конечное число.
Но, занимаясь численным моделированием, всегда задаваются вопросом, а насколько точен метод рассчета, да и, вообще, работает ли он? Конечно, зная точное решение (возможно, немного упрощенной, или тестовой) задачи, можно было бы его сравнить с численным и сделать соответствующий вывод. Но как быть, если уравнение неинтегрируемое? Как уже можно догадаться, здесь на помощь придут точные решения. Конечно, возни здесь гораздо больше, но очевидное практическое применение точных решений именно такое.
Ну и, конечно же, фундаментальная роль точных решений неинтегрируемых и интегрируемых дифференциальных уравнений. Открывая новые методы поиска точных решений, мы тем самым прямо или косвенно касаемся проблемы интегрируемости, и, не ровен час, когда-нибудь мы её решим. Знание - сила.
8. Вместо заключения
Изложенные здесь идеи, конечно же, не мои. Я черпал их из книг, непосредственно от людей и пытался как-то разместить и упорядочить в голове. Умышленно старался не приводить здесь имен. Может быть, потому, что это лишь моё понимание проблемы на основании полученных знаний - интерпретация, изложенная в удобном для меня виде, с которой, вполне возможно, некоторые могут не согласиться или раскритиковать. А, может быть, просто потому, что не говорил почти ничего конкретного. Но, уверен, люди приложившие руку к моему воспитанию, обязательно узнают здесь свои мысли.
В заключении подобных статей хорошим тоном является выдвиженеи новых идей и предложений. Опять-таки, не конкретизируя, скажу, что решение, на как мне кажется, в радикальном изменении взглядов на Мир в целом, и на математику в частности. Нужны безумные, сумасшедшие идеи, из которых надо выделить частный случай - наше современное понимание вещей. Вообще, порывать со старыми традициями - это свойство, присущее молодости!
